Disposizioni con ripetizioni
Consideriamo un insieme con un numero finito di elementi, ad esempio
\[A=\{a,b,c\}.\]
Se pensiamo ad A come ad un alfabeto possiamo costruire tutte le parole di k lettere, dove le lettere non sono altro che gli elementi di A. Se fissiamo k=2 avremo l'insieme delle parole
\[P=\{aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc\}.\]
Tale insieme viene detto "matematicamente" l'insieme delle disposizioni con ripetizioni di k elementi su n dati, dove la singola disposizione non è altro che la nostra "parola".
Il numero di disposizioni con ripetizioni di k elementi su n dati è
\[D'_{n,k}=n^k.\]
Nell'esempio precedente ho n=3, k=2, dunque 32=9, che effettivamente è il numero di elementi di P. Per comprendere la formula osserviamo che nella prima posizione (cioè la prima lettera della parola) posso scegliere una delle tre lettere a oppure b oppure c. Analogamente per la seconda posizione.
Un esempio di fondamentale importanza di disposizioni con ripetizione è il seguente. Consideriamo l'insieme
\[A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.\]
Le disposizioni con ripetizione di 2 elementi sui 10 dati in A sono
\[P=\{00,01,...,09,10,11,..,19,20,...,99\}.\]
Esse rappresentano come ben sappiamo i numeri da 0 a 99. Infatti ho grazie alla formula 102 =100 elementi in P. Per un approfondimento storico vedi sistema di numerazione arabo.
Un altro esempio molto importante, che è tra l'altro il fondamento della codifica dei dati nell'informatica, parte dal considerare un alfabeto con due soli elementi
\[A=\{0,1\}\]
(detti bit in informatica) e dalle disposizioni con ripetizione su esso.
Un byte ad esempio è una parola o disposizione con ripetizione di 8 bit. Tali disposizioni sono nel numero di 28=256.
Vedi anche disposizioni semplici e combinazioni.