Partizione di un insieme

Una partizione (finita) di un insieme A è data dai sottoinsiemi di A

\[A_1,\ldots,A_n\]

che soddisfano le seguenti condizioni:

1. \(A_i\cap A_j=\emptyset \) per ogni \(i\neq j\);
2. \(A_1 \cup A_2 \cup \ldots A_n=A\);

Facciamo alcuni esempi per chiarire queste due condizioni.

Esempio 1. Pavimenti (tassellazioni del piano)

 

Consideriamo un pavimento costituito da piastrelle: Il pavimento è il nostro insieme \(A\), \(A_1,\ldots,A_n\) sono le nostre piastrelle. Se il pavimento è "ben piastrellato" deve necessariamente soddisfare le due condizioni. La (1) dice che prendendo due qualunque piastrelle esse non si sovrappongono. La (2) impone che l'insieme delle piastrelle coprono, o se si preferisce, costituiscono, l'intero pavimento.

Esempio 2. Numeri pari e dispari

 Sia \(N\) l'insieme dei numeri naturali e siano \(P\) e \(D\) l'insieme dei numeri pari e dispari. \(P\) e \(D\) sono una partizione di \(N\). Infatti un numero naturale o è pari o e dispari (condizione 2) e non può essere contemporaneamente pari e dispari (condizione 1). 

 

Esempio 3. Numeri ed orologi

Consideriamo un orologio a lancette con \(12\) ore.Osserviamo che le \(13\) sono "uguali" all'una. Ma anche la 25sima ora è uguale all'una: Faccio due interi giri dell'orologio e torno all'una (\(2\times 12+1\)). Quindi rispetto ai numeri naturali \(N\), gli insiemi

\[A_0=\{12, 24,36,\ldots,k 12,\ldots\}\]

\[A_1=\{1, 13 ,25 ,37,\ldots,k 12+1,\ldots\}\]

\[A_2=\{14,26,38,\ldots,k 12+2,\ldots\}\]

\[\ldots\]

\[A_{11}=\{11,23,35,\ldots, k 12+11,\ldots\}\]

fomano una partizione dei numeri naturali. Nota che l'esempio 2 ed il 3 si somigliano. Infatti nel primo caso abbiamo un "orologio" con sole 2 ore, nel secondo con 12. Si possono considerare orologi e dunque partizioni di \(N\) con un qualunque numero fissato (di "ore").