Area del cerchio

Teorema

L'area del cerchio è equivalente all'area del triangolo rettangolo avente base uguale alla circonferenza e altezza uguale al raggio del cerchio. (Archimede 287 a.C. 212 a.C)

 

 

E' utile per comprendere questa dimostrazione ricordare che l'area del poligono regolare di apotema r e perimetro p è equivalente all'area del triangolo rettangolo di base p ed altezza r. Dalla seguente figura è evidente la scomposizione del poligono regolare (un esagono) in 6 triangoli equilateri che sono equivalenti al triangolo avente come base il perimetro del poligono di partenza.

 

E' ovvio che qualunque poligono regolare inscritto nel cerchio possiede un area inferiore a quella del cerchio stesso. Inoltre all'aumentare dei lati del poligono la differenza tra l'area del cerchio e del poligono diventa piccola a piacere (nella figura seguente un dodecagono regolare). Da questa osservazione Archimede dimostra il teorema procedendo per assurdo.

 

 

Poniamo per assurdo che il cerchio abbia superficie maggiore del triangolo. Posso costruire un poligono regolare inscritto avente un numero sufficientemente grande di lati da avere un'area più grande di quella del triangolo. Ma questa è una evidente contraddizione essendo la superficie del poligono iscritto data dal semiprodotto di un perimetro e di un apotema entrambi rispettivamente inferiori alla circonferenza e al raggio del cerchio.

In modo analogo si procede per assurdo ponendo che il cerchio abbia superficie minore del triangolo e ragionando su poligoni regolari che circoscrivono il cerchio.

C.V.D.

 

Nota.

Archimede diede anche una prima approssimazione dell'area del cerchio. Egli in particolare considerò l'area dei poligoni regolari insciritti fino a 96 lati.

 

Questo numero proviene dal calcolo delle aree dei poligoni regolari inscritti di esagono (6 lati), dodecagono (12 lati, ottenibile facilmente dall'esagono considerando i punti medi di ogni singolo lato di quest'ultimo). E quindi poligono regolare con 24, 48 e 96 lati.

 

Esercizio

Prova a calcolare come esercizio l'area dell'esagono inscritto e circoscritto al cerchio di raggio 1. Troverai un numero rispettivamente inferiore e superiore a "pi greco".

 

Prova dunque a calcolare l'area del dodecagono inscritto. Si può osservare che tale numero è la radice del prodotto dei due precedenti.

 

Questo fatto vale in generale. Cioè l'area del poligono regolare inscritto di 2n lati è la media geomertica delle aree dei poligoni regolari inscritto e circoscritto di n lati.

 

Questa osservazione definisce in modo naturale quello che viene detto algoritmo di Archimede, che permette il calcolo di un numero elevato di cifre decimali di pi greco.